2016高考常考的題型：空間向量
導語：把學問過于用作裝飾是虛假;完全依學問上的規則而斷事是書生的怪癖。下面是小編為大家整理的：數學知識點。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLA學習網!
一、空間向量知識點
1.空間向量的概念：
定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空間的一個平移就是一個向量
⑵向量一般用有向線段表示
同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
ⅰ定理：如果三個向量 不共面，那么對于空間任一向量 ，存在唯一的有序實數組x、y、z，使 。且把 叫做空間的一個基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。
ⅲ 單位正交基底：當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱單位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空間四點共面：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序實數組x、y、z，使 。
2.空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下
運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3
共線向量
ⅰ定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作 。
ⅱ規定：零向量與任意向量共線;
ⅲ共線向量定理：對空間任意兩個向量 平行的充要條件是：存在實λ，使 。
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.
平行于
記作
. 當我們說向量
、
共線(或
//
)時，表示
、
的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.
4.共線向量定理及其推論
共線向量定理：空間任意兩個向量
、
(
≠
)，
//
的充要條件是存在實數λ，使
=λ
. 推論：如果
為經過已知點A且平行于已知非零向量
的直線，那么對于任意一點O，點P在直線
上的充要條件是存在實數t滿足等式
. 其中向量
叫做直線
的方向向量.
5.向量與平面平行
已知平面
和向量
，作
，如果直線
平行于
或在
內，那么我們說向量
平行于平面
，記作：
. 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
說明：空間任意的兩向量都是共面的
6.共面向量定理
ⅰ定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量;空間的任意兩個向量都是共面向量。
ⅱ向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或 在α內，則說向量 平行于平面α，記作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條件是：存在實數對x、y，使 。
ⅳ空間的三個向量共面的條件：當 、 、 都是非零向量時，共面向量定理實際上也是 、 、 所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內。
ⅴ共面向量定理的推論：空間一點P在平面MAB內的充要條件是：存在有序實數對x、y，使得 ，或對于空間任意一定點O，有 。
如果兩個向量
不共線，
與向量
共面的充要條件是存在實數
使
推論：空間一點
位于平面
內的充分必要條件是存在有序實數對
，使
或對空間任一點
，有
① ①式叫做平面
的向量表達式
7
空間向量基本定理如果三個向量
不共面，那么對空間任一向量
，存在一個唯一的有序實數組
，使
推論：設
是不共面的四點，則對空間任一點
，都存在唯一的三個有序實數
，使
8
空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量
，在空間任取一點
，作
，則
叫做向量
與
的夾角，記作
;且規定
，顯然有
;若
，則稱
與
互相垂直，記作：
.
9.向量的模：
設
，則有向線段
的長度叫做向量
的長度或模，記作：
.
10.向量的數量積：
ⅰ定義：已知空間兩個非零向量 、 ，則 叫做向量 、 的數量積，記作 ，即： 。
ⅱ規定：零向量與任一向量的數量積為0。
ⅲ注意：兩個向量的數量積也叫向量 、 的點積(或內積)，它的結果是一個實數，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。
ⅳ數量積的幾何意義： 叫做向量 在 方向上的投影(其中θ為向量 和 的夾角)。
即：數量積 等于向量 的模與向量 在 方向上的投影的乘積。
. 已知向量
和軸
，
是
上與
同方向的單位向量，作點
在
上的射影
，作點
在
上的射影
，則
叫做向量
在軸
上或在
上的正射影. 可以證明
的長度
.
11.空間向量數量積的性質：
(1)
.(2)
.(3)
.
12.空間向量數量積運算律：
(1)
.(2)
(交換律)(3)
(分配律).
二.空間向量的坐標運算知識：
(1)空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸(對應為橫坐標)，y軸是縱軸(對應為縱軸)，z軸是豎軸(對應為豎坐標).
①令
=(a1,a2,a3),
，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：
)
②空間兩點的距離公式：
. (2)法向量：若向量
所在直線垂直于平面
，則稱這個向量垂直于平面
，記作
，如果
那么向量
叫做平面
的法向量.
(3)用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面
的法向量，AB是平面
的一條射線，其中
，則點B到平面
的距離為
. ②利用法向量求二面角的平面角定理：設
分別是二面角
中平面
的法向量，則
所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小(
方向相同，則為補角，
反方，則為其夾角). ③證直線和平面平行定理：已知直線
平面
，
，且CDE三點不共線，則a∥
的充要條件是存在有序實數對
使
.(常設
求解
若
存在即證畢，若
不存在，則直線AB與平面相交).
二、復習點睛：
1、立體幾何初步是側重于定性研究，而空間向量則側重于定量研究。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。
2、根據空間向量的基本定理，出現了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標系，形成了用空間坐標研究空間圖形的坐標法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進行向量運算，三回到圖形問題。其實質是數形結合思想與等價轉化思想的運用。
3、實數的運算與向量的運算既有聯系又有區別，向量的數量積滿足交換律和分配律，但不滿足結合律，因此在進行數量積相關運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務必記住并學會應用： 。
2、空間向量的坐標表示：
(1)空間直角坐標系：
①空間直角坐標系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底 ，以點O為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，點O叫做原點，向量 叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐標系：右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以90°角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向;
③構成元素：點(原點)、線(x、y、z軸)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空間直角坐標系的畫法：作空間直角坐標系O-xyz時，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的一半;
(2)空間向量的坐標表示：
①已知空間直角坐標系和向量 ，且設 為坐標向量(如圖)，
由空間向量基本定理知，存在唯一的有序實數組 叫做向量在此直角坐標系中的坐標，記作 。
②在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任一點A，對應一個向量 ，若 ，則有序數組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標， y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標，寫點的坐標時，三個坐標間的順序不能變。
③空間任一點的坐標的確定：過P分別作三個與坐標平面平行的平面(或垂面)，分別交坐標軸于A、B、C三點，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，當 與 的方向相同時，x>0，當 與 的方向相反時，x<0，同理可確y、z(如圖)。
④規定：一切空間向量的起點都是坐標系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標一一對應。
⑤一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。
設 ， ，
則：
(3)空間向量的直角坐標運算：
⑦空間兩點間距離： ;
⑧空間線段 的中點M(x，y，z)的坐標： ;
⑨球面方程：
4、過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統稱坐標軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線;它們的正方向要符合右手規則，即以這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。
5、空間直角坐標系中的特殊點:
(1)點(原點)的坐標：(0,0,0);
(2)線(坐標軸)上的點的坐標：x軸上的坐標為(x,0,0)，y軸上的坐標為(0,y,0)，z軸上的坐標為(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內的點的坐標：平面上的坐標為(x,y,0)、平面上的坐標為(0,y,z)、平面上的坐標為(x,0,z)
6、要使向量 與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量 與哪一個坐標軸垂直，只要向量 的相應坐標為0即可。
7、空間直角坐標系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要將 和 代入，即可證明空間向量的運算法則與平面向量一樣;
9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成.任意不共面的三個向量 都可以構成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的基礎。
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