2016高二數學平面向量的坐標運算知識點整理
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重點知識歸納及講解
1、實數與向量的積
2、兩個向量共線的充要條件(向量共線定理)
3、平面向量基本定理
說明：(1)基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行.
(2)由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.
4、平面向量的坐標表示
5、向量坐標與點坐標的關系
6、平面向量的`坐標運算
7、平面向量共線的坐標表示
三、難點知識剖析
1、向量共線的充要條件及平面向量基本定理
準確理解，把握平面向量基本定理的關鍵是對定理的條件和結論的每個字的含義的理解.如向量共線的充要條件定理中有：
(1)非零向量;
(2)有且只有一個實數λ;
(3);
(4)條件與結論的互推.
這四個方面我們要認真理解、記憶.
2、要證明向量a、b共線，只需證明存在實數λ，使得b=λa即可.如果a=b=0，數λ仍然存在，此時λ并不惟一，是任意數值.
3、關于平面向量的坐標運算，要注意以下幾點：
(1)要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關.
(2)通過建立直角坐標系，可以將平面內任一向量用一個有序實數對來表示;反過來，任一有序實數對就表示一個向量.這就是說，一個平面向量就是一個有序實數對.
4、凡遇到與平行有關的問題時，一般地要考慮運用向量平行的充要條件：
(1)b∥ab=λa(a≠0，λ∈R)
x1y2-x2y1=0，其中a(x1，y1)，b(x2，y2) (2)b∥a(a≠0)
四、例題講解
例1、已知向量a、b是兩非零向量，在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是( )
①2a-3b=4e且a+2b=-3e;
�、诖嬖谙喈悓崝�λ、μ，使λa+μb=0;
�、踴a+yb=0(其中實數x、y滿足x+y=0);
�、芤阎菪蜛BCD，其中
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共線，則只有從A、B中進一步作出選擇，若①不能使a、b共線，則應從C、D中進一步作出選擇.首先判定①能否使a、b共線.由向量方程組：∴b=10a，∴a、b共線，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相異實數，所以λ、μ不同時為0，不妨設μ≠0
，∴
擇A. ，故a、b共線，所以排除B，選
答案：A
例2、如圖所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分別是AD、BC邊上的中點，且BC=3AD，
試以a、b為基底表示
分析：我們首先應根據AD∥BC且AD=
計算出所求向量. BC，用b表示，然后反復采用向量和與差的三角形法則就可
解答：AD∥BC且AD=BC，
例3、如果向量，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數m的值使A、B、C三點共線.
分析：由A、B、C三點共線知向量共線，再利用向量共線定理求出m的值.
解答：解法一：
∵A、B、C三點共線，即知向量共線.
∴存在實數λ，使得，即i-2j=λ(i+mj)，
由上可得λ=1，且λm=-2，
故當m=-2時，A、B、C三點共線.
解法二：
由于i=(1，0)，j=(0，1)
而共線，故1·m-1·(-2)=0，即m=-2.
故當m=-2時，A、B、C三點共線.
例4、已知ADCB是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于F.試用向量方法證明：AF=AE.
分析：運用向量知識，欲證AF=AE，即證.為此，可建立平面直角坐標系，求出E、F的坐標. 證明：如圖，正方形ADCB的邊CD所在直線為x軸，以C點為原點建立直角坐標系，
設正方形的邊長為1，則A、B的坐標分別為(-1，1)和(0，1)，
若E點的坐標為(x，y)，則
又由AC=CE及A(-1，1)，C(0，0)，E(x，y)可得x2+y2=2 ②
由①②可解得
.
又設F(x1，1)，則由
即點F的坐標為.
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