奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習(xí)題
1、設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開關(guān)。現(xiàn)在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈沒亮。小華從燈A開始順次拉動(dòng)開關(guān)，即從A到G，再從A開始順次拉動(dòng)開關(guān)，他這樣拉動(dòng)了999次開關(guān)后，哪些燈亮著，哪些燈沒亮?
解：一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，將改變原來的狀態(tài)，即亮的變成熄的，熄的變成亮的;而一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變原來的狀態(tài)。由于
999=7×142+5，
因此，燈A，B，C，D，E各被拉動(dòng)143次開關(guān)，燈F，G各被拉動(dòng)142次開關(guān)。所以，當(dāng)小華拉動(dòng)999次后B，E，G亮，而A，C，D，F(xiàn)熄。
2、桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動(dòng)77枚，第2次翻動(dòng)其中的76枚，第3次翻動(dòng)其中的75枚……第77次翻動(dòng)其中的1枚。按這樣的方法翻動(dòng)硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上?說明你的理由。
分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動(dòng)奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實(shí)，對我們解決這個(gè)問題起著關(guān)鍵性作用。
解：按規(guī)定的翻動(dòng)，共翻動(dòng)1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動(dòng)了39次，這是奇數(shù)。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到
77×39=77+(76+1)+(75+2)+…+(39+38)，
根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計(jì)如下的翻動(dòng)方法：
第1次翻動(dòng)77枚，可以將每枚硬幣都翻動(dòng)一次;第2次與第77次共翻動(dòng)77枚，又可將每枚硬幣都翻動(dòng)一次;同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動(dòng)一次。這樣每枚硬幣都翻動(dòng)了39次，都由正面朝下變?yōu)檎娉稀?/p>
說明：(1)此題也可從簡單情形入手(如9枚硬幣的情形)，按規(guī)定的翻法翻動(dòng)硬幣，從中獲得啟發(fā)。
(2)對有關(guān)正、反，開、關(guān)等實(shí)際問題通常可化為用奇偶數(shù)關(guān)系討論。
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