大學數學中的重要知識點
1.數列極限
定義：設|Xn|為一數列，如果存在常數a對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，
|Xn-a|<ε
都成立，那么就稱常數a是數列|Xn|的極限，或稱數列|Xn|收斂于a。記為limXn=a或Xn→a（n→∞）
2確界原理
任一有上界的非空實數集必有上確界(為實數)。對偶地，任一有下界的非空實數集必有下確界(為實數)。在擴張的實數系R中，認為沒有上(下)界的非空實數集的上(下)確界為+∞(-∞)。這樣，在R中任何非空集都有上、下確界。
3柯西收斂準則
定理敘述：
數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε成立。
將柯西收斂原理推廣到函數極限中則有：
函數f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬于實數，當x,y>Z時，有|f(x)-f(y)|<ε成立。
4函數的連續性
如果函數f(x)在點x=a處及其附近有定義，而且函數在x=a處的極限值和f(a)相等，就說函數f(x)在x=a處連續。
函數若在區間(m,n)內所有點上都連續，就說函數在區間(m,n)內連續。
函數若在區間(m,n)內所有點上都連續，而且在x=m點上右極限等于f(m)，在x=n點上左極限等于f(n)，就說函數在區間[m,n]內連續。
5導數的定義
一般地，假設一元函數y＝f(x)在x0點的附近(x0－a，x0＋a)內有定義;
當自變量的增量Δx＝x－x0→0時函數增量Δy＝f（x）－f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數f在x0點可導，稱之為f在x0點的（或變化率).
導數的幾何意義
若函數f在區間I的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函數，記作f(x)'或y'，稱之為f的導函數，簡稱為導數。
函數y＝f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在P0［x0，f（x0）］點的切線斜率
6微分的定義
設函數y=f(x)在x的'領域內有定義，x0及x0+Δx在此區間內。如果函數的增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△X→０）（其實我覺得導數和微分就是一個東西，不用太區分開了的）7拉格朗日中值定理
如果函數f(x)在（a，b）上可導，[a,b]上連續，則必有一ξ∈[a,b]使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1)
8泰勒公式
若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關于（x-x.)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間
9不定積分
設F（x)是函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)C（C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)C。
不定積分
其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。
由定義可知：
求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數，由原函數的性質可知，只要求出函數f(x)的一個
原函數，再加上任意的常數C，就得到函數f(x)的不定積分。10實數的完備性
（1）確界原理（上面有）
（2）單調有界定理若數列{an}遞增（遞減）有上界（下界），則數列{an}收斂，即單調有界函數必有極限。
（3）區間套定理有無窮個閉區間，第二個閉區間被包含在第一個區間內部，第三個被包含在第二個內部，以此類推（后一個線段會被包含在前一個線段里面），這些區間的長度組成一個無窮數列，如果數列的極限趨近于0（即這些線段的長度最終會趨近于0），則這些區間的左端點最終會趨近于右端點，即左右端點收斂于數軸上唯一一點，而且這個點是此這些區間的唯一公共點。（開區間同理）
（4）有限覆蓋定理設H為閉區間[a,b]的一個（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋[a,b].開覆蓋的定義：設S為數軸上的點集，H為開區間的集合，（即H中每一個元素都是形如(a,b)的開區間).若S中的任何一點都含在至少一個開區間內，則稱H為S的一個開覆蓋，或簡稱H覆蓋S.
若H中的開區間的個數是有限（無限）的，那么就稱H為S的一個有限（無限）覆蓋.
（5）聚點定理聚點定理(也稱為維爾斯特拉斯聚點定理)經典形式:實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.（聚點：設S為數軸上的點集,e為定點(它可以屬于S,也可以不屬于S),若e的任何ε鄰域內都含有S中的無窮多個點,則稱e為點集S的一個聚點.）
（6）柯西收斂定理（上面有）
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