圓-數學教案
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：①點和圓的三種位置關系，圓的有關概念，因為它們是研究圓的基礎；②五種常見的點的軌跡，一是對幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學習作重要的準備.
難點：① 圓的集合定義，學生不容易理解為什么必須滿足兩個條件，內容本身屬于難點；②點的軌跡，由于學生形象思維較強，抽象思維弱，而這部分知識比較抽象和難懂.
2、教法建議
本節內容需要4課時
第一課時：圓的定義和點和圓的位置關系
（1）讓學生自己畫圓，自己給圓下定義，進行交流，歸納、概括，調動學生積極主動的參與教學活動；對于高層次的學生可以直接通過點的集合來研究，給圓下定義（參看教案圓（一））；
（2）點和圓的位置關系，讓學生自己觀察、分類、探究，在“數形”的過程中，學習新知識.
第二課時：圓的有關概念
（1）對（A）層學生放開自學，對（B）層學生在老師引導下自學，要提高學生的學習能力，特別是概念較多而沒有很多發揮的內容，老師沒必要去講；
（2）課堂活動要抓住：由“數”想“形”，由“形”思“數”，的主線.
第三、四課時：點的軌跡
條件較好的學校可以利用電腦動畫來加深和幫助學生對點的軌跡的理解，一般學校可讓學生動手畫圖，使學生在動手、動腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強向抽象思維過度.但我的觀點是不管怎樣組織教學，都要遵循學生是學習的主體這一原則.
第一課時：圓（一）
教學目標：
1、理解圓的描述性定義，了解用集合的觀點對圓的定義；
2、理解點和圓的位置關系和確定圓的條件；
3、培養學生通過動手實踐發現問題的能力；
4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數學思想方法.
教學重點：點和圓的關系
教學難點：以點的集合定義圓所具備的兩個條件
教學方法：自主探討式
教學過程設計(總框架)：
一、 創設情境，開展學習活動
1、讓學生畫圓、描述、交流，得出圓的第一定義：
定義1：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓.固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“圓O”.
2、讓學生觀察、思考、交流，并在老師的指導下，得出圓的第二定義.
從舊知識中發現新問題
觀察：
共性：這些點到O點的距離相等
想一想：在平面內還有到O點的距離相等的點嗎？它們構成什么圖形？
（1） 圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑的長r）；
（2） 到定點距離等于定長的點都在圓上.
定義2：圓是到定點距離等于定長的點的集合.
3、點和圓的位置關系
問題三：點和圓的位置關系怎樣？（學生自主完成得出結論）
如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：
點在圓上d=r；
點在圓內d<r；
點在圓外d>r.
“數”“形”
二、 例題分析，變式練習
練習： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點，當OP=6cm時，點A在⊙O________；當OP=10cm時，點A在⊙O________；當OP=18cm時，點A在⊙O___________.
例1 求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.
已知（略）
求證（略）
分析：四邊形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BD
OA=OC=OB=OD
要證A、B、C、D 4個點在以O為圓心的圓上
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形
∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD
∴ OA=OC=OB=OD
∴ A、B、C、D 4個點在以O為圓心，OA為半徑的圓上.
符號“”的應用（要求學生了解）
證明：四邊形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個點在以O為圓心，OA為半徑的圓上.
小結：要證幾個點在同一個圓上，可以證明這幾個點與一個定點的距離相等.
問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點在同一個圓上.（讓學生探討）
練習1 求證：菱形各邊的中點在同一個圓上.
（目的：培養學生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）
練習2 設AB=3cm，畫圖說明具有下列性質的點的集合是怎樣的圖形.
(1)和點A的距離等于2cm的點的集合；
(2)和點B的距離等于2cm的點的集合；
(3)和點A，B的距離都等于2cm的點的集合；
(4)和點A，B的距離都小于2cm的點的集合；（A層自主完成）
三、 課堂小結
問：這節課學習的主要內容是什么？在學習時應注意哪些問題？在學生回答的基礎上，強調：
(1)主要學習了圓的兩種不同的定義方法與圓的三種位置關系；
(2)在用點的集合定義圓時，必須注意應具備兩個條件，二者缺一不可；
(3)注重對數學能力的培養
四、作業 82頁2、3、4.
第二課時：圓（二）
教學目標
1、使學生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會運用這些概念判斷真假命題，數學教案－圓。
2、逐步培養學生閱讀教材、親自動手實踐，總結出新概念的能力；進一步指導學
生觀察、比較、分析、概括知識的能力。
3、通過動手、動腦的全過程，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識。
教學重點、難點和疑點
1、重點：理解圓的有關概念．
2、難點：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．
3、疑點：學生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難，初中數學教案《數學教案－圓》。
教學過程設計：
（一）閱讀、理解
重點概念：
1、弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦．
2、直徑：經過圓心的弦是直徑．
3、圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧．簡稱弧．
半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；
優弧：大于半圓的弧叫優弧；
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧．
4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．
5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓．
6、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．
7、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．
（二）小組交流、師生對話
問題：
1、一個圓有多少條弦？最長的弦是什么？
2、弧分為哪幾種？怎樣表示？
3、弓形與弦有什么區別？在一個圓中一條弦能得到幾個弓形？
4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？
（通過問題，使學生與學生，學生與老師進行交流、學習，加深對概念的理解，排除疑難）
（三）概念辨析：
判斷題目：
（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）
（3）半圓是弧（ ） （4）弧是半圓（ ）
（5）長度相等的兩段弧是等弧（ ） （6）等弧的`長度相等（ ）
（7）兩個劣弧之和等于半圓（） （8）半徑相等的兩個半圓是等弧（）
（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用．）
（四）應用、練習
例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧．
解：一共有6條弧． 、 、 、 、 、 ．
（目的：讓學生會表示弧，并加深理解優弧和劣弧的概念）
例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑．求證：AD∥BC．
（由學生分析，學生寫出證明過程，學生糾正存在問題．鍛煉學生動口、動腦、動手實踐能力，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識．）
鞏固練習：
教材P66練習中2題(學生自己完成)．
（五）小結
教師引導學生自己做出總結：
1、本節所學似的知識點；
2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個圖形；④等圓和等弧．
3、弧的表示方法．
（六）作業
教材P66練習中3題，P82習題l(3)、(4)．
第三、四課時 圓（三）——點的軌跡
教學目標
1、在了解用集合的觀點定義圓的基礎上，進一步使學生了解軌跡的有關概念以及熟悉五種常用的點的軌跡；
2、培養學生從形象思維向抽象思維的過渡；
3、提高學生數學來源于實踐，反過來又作用于實踐的辯證唯物主義觀點的認識。
重點、難點
1、重點：對圓點的軌跡的認識。
2、難點：對點的軌跡概念的認識，因為這個概念比較抽象。
教學活動設計（在老師與學生的交流對話中完成教學目標）
（一）創設學習情境
1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念
（使學生在老師的引導下從感性知識到理性知識）
觀察：圓是到定點的距離等于定長的的點的集合；（電腦動畫）
理解：圓上的點具有兩個性質：
(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；
(2)到定點距離等于定長的的點都在圓上；（結合下圖）
引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上．（軌跡的概念非常抽象，是教學的難點，這里教師要精講，細講）
上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合．因此“到定點距離等于定長的點的軌跡”是圓．
軌跡1：“到定點距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎和關鍵）
（二）類比、研究1
（在老師指導下，通過電腦動畫，學生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）
軌跡2：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；
軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線；
（三）鞏固概念
練習：畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：
(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；
(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點的軌跡；
(3)經過已知點A、B的圓O，圓心O的軌跡．
（A層學生獨立畫圖，回答滿足這個條件的軌跡是什么?歸納出每一個題的點的軌跡屬于哪一個基本軌跡；B、C層學生在老師的指導或帶領下完成）
（四）類比、研究2
（這是第二次“類比”，目的：使學生的知識和能力螺旋上升．這次通過電腦動畫，使A層學生自己做，進一步提高學生歸納、整理、概括、遷移等能力）
軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；
軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．
（五）鞏固訓練
練習題1：畫圖說明滿足下面條件的點的軌跡：
1．到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；
2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡．
（A層學生獨立畫圖探索；然后回答出點的軌跡是什么，對B、C層學生回答有一定的困難，這時教師要從規律上和方法上指導學生）
練習題2：判斷題
1、到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．( )
2、和點B的距離等于5cm的點的軌跡，是到點B的距離等于5cm的圓．( )
3、到兩條平行線的距離等于8cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線．( )
4、底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線．( )
(這組練習題的目的，訓練學生思維的準確性和語言表達的正確性．題目由學生自主完成、交流、反思)
(教材的練習題、習題即可，因為這部分知識屬于選學內容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學生要求太高，了解就行、理解就高要求)
（六）理解、小結
（1）軌跡的定義兩層意思；
（2）常見的五種軌跡。
（七）作業
教材P82習題2、6．
探究活動
愛爾特希問題
在平面上有四個點，任意三點都可以構成等腰三角形，你能找到這樣的四點嗎?
分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應以如何構造出這樣的點來考慮．最容易想到的是，使一個點到另三個點等距離，換句話說，以一個點為圓心，作一個圓，其他三個點在此圓上尋找，只要使這圓上的三點構成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.
其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).
最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點即可(見圖中的第4個圖)．
綜上所述，符合題意的四點有且僅有三種構形：①任意等腰三角形的三個頂點及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個頂點；③任意正五邊形的其中4個頂點．
上述問題是大數學家愛爾特希(P．Erdos)提出的：“在平面內有n個點，其中任意三點都能構成等腰三角形”中n＝4的情形．
當n＝3、4、5、6時，愛爾特希問題都有解．已經證明，時，問題無解．
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