高中數學函數的對稱性知識點匯總
高中數學教學中,函數是一個 非常重要的內容,它是整個高中數學教學中的中心內容,同時還是學習高中數學的基礎知識。在每年的高考和競賽中,函數都是熱點與重點，下面是小編整理的高中數學函數的對稱性知識點，希望對您有所幫助。
高中數學函數的對稱性知識點
一、函數自身的對稱性探究
定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
（充分性）設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P'關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。
推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）
推論：函數 y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函數y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。
②若函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。
③若函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。
二、不同函數對稱性的探究
定理4. 函數y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。
定理5. ①函數y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。
②函數y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。
③函數y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③
設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P'（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P'（x1， y1）在函數x－a = f (y + a)的圖像上。
同理可證：函數x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。
三、三角函數圖像的'對稱性列表
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。
四、函數對稱性應用舉例
例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 第二試題）
(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數
(C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數
解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。
故選(A)
例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，
∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應選（C）
例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，
f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）
解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
解：函數 y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k +
∴x = － ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = － 故選(A)
例5. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，
f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5(B)－0.5(C) 1.5(D) －1.5
解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)
高中函數的知識點總結
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：
一看開口方向;
二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
12. 依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題
13. 恒成立問題的處理方法：
(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
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