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高中數學必修一必修知識點總結

時間：2022-10-13 23:36:23 高中數學

高中數學必修一必修知識點總結

　　第一章集合與函數概念

高中數學必修一必修知識點總結

　　一：集合的含義與表示

　　1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。

　　（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3、集合的表示：{?}

　　（1）用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c??}

　　b、描述法：

　　①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　　（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合

　　5、元素與集合的關系：

　　（1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

　　（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　常用數集及其記法：

　　非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

　　6、集合間的基本關系（1）“包含”關系：子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：A?B（或B?Ａ）

　　注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分；

　　（2）A與B是同一集合。

　　??反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?B或B?A

　　（2）“包含”關系：真子集

　　如果集合A?B，但存在元素x?B且x￠A，則集合A是集合B的真子集

　　如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含于B（3）“相等”關系：A=B

　　“元素相同則兩集合相等”如果A?B同時B?A那么A=B

　　（4）不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性質

　　①任何一個集合是它本身的子集。A?A②如果A?B,B?C,那么A?C

　　③如果AB且BC，那么AC

　　nn-1

　　④有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集

　　二、函數的概念

　　1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．

　　（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；

　　（2）與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

　　2.函數的三要素：定義域、值域、對應法則

　　3.函數的表示方法：

　　（1）解析法：明確函數的定義域

　　（2）圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。

　　（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。

　　4、函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法

　　1.描點法

　　2.圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。

　　三、函數的基本性質

　　1.函數解析式子的求法

　　（1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：

　　1）代入法：2）待定系數法：3）換元法：

　　2．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

　　求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

　　(1)分式的分母不等于零；

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零；

　　(3)對數式的真數必須大于零；

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

　　(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　3、相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)4、區間的概念：

　　（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間

　　（3）區間的數軸表示

　　5、值域（先考慮其定義域）

　　（1）觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域；

　　（2）反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

　　(3)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。(4)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。

　　6.分段函數

　　（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（2）各部分的自變量的取值情況．

　　（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．（4）常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數

　　7．映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A?B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）?B（象）”

　　對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

　　(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　8、函數的單調性(局部性質)及最值

　　（1）增減函數

　　（1）設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩

　　個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間稱為y=f(x)的單調增區間.

　　（2）如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，

　　那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

　　（2）圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

　　（3）函數單調區間與單調性的判定方法

　　(A)定義法：

　　1任取x，x∈D，且x<x；○

　　2作差f(x)－f(x)；○

　　3變形（通常是因式分解和配方）；○

　　4定號（即判斷差f(x)－f(x)的正負）；○

　　5下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．○

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)

　　(C)復合函數的單調性

　　復合函數：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

　　9：函數的奇偶性（整體性質）

　　（1）偶函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．

　　（2）奇函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

　　（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征

　　偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．

　　利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

　　a、首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數；若對稱，則進行下面判斷；

　　b、確定f(－x)與f(x)的關系；

　　c、作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；

　　若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．

　　（4）利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性

　　1.在公共定義域內:

　　2.偶函數的加減乘除仍為偶函數；

　　3.奇函數的加減仍為奇函數；

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