大學如何學好高等代數
同學們，當你們正在《數學分析》課程時，同時又要學《高等代數》課程。覺得高等代數與數學分析不太一樣，比較“另類”。不一樣在于它研究的方法與數學分析相差太大，數學分析是中學數學的延續，其內容主要是中學的內容加極限的思想而已，同學們接受起來比較容易。高等代數則不同，它在中學基本上沒有“根”。其思維方式與以前學的數學迥然不同，概念更加抽象，偏重思辨與證明。尤其是下學期，證明是主要部分，雖然學時不少，但是理解起來仍困難。下面是小編為大家帶來的大學如何學好高等代數的知識，歡迎閱讀。
大學如何學好高等代數
現在講講高等代數課程究竟講些什么？作為專業的同學要重點學什么？實際上它研究的是線性問題，叫線性代數也沒錯（這是工科的叫法，工科的知識講的簡單些。）所謂線性，指的是變量的次數為一次，研究的計算為“加法”與“乘法”運算。工程上常常將非線性的問題歸結到線性問題來考慮，說起來似乎很容易吧？實際上不很好學！
它分兩個學期。我們上學期學的內容，可以歸結為“一個問題”和“兩個工具”。一個問題是指解線性方程組的問題，兩個工具指的是矩陣和向量。
你可能會想：線性方程組我們學過，而且解它用得著講一門課嗎？大家一定要明白，首先我們的方程組不像中學所學僅含2到3個方程，它只要用消元法即可容易地求出，這里的研究的是所有方程組的規律，也就是所必須找到4個以上方程組成的方程組的解的規律，這樣就比較難了，需要對方程組有個整體的認識；再者，數學的宗旨是將看似不同的事物或問題將它們聯系起來，抽象出它們在數學上的本質，然后用數學的工具來解決問題。實際上，向量、矩陣、線性方程組都是基本數學工具。三者之間有著密切的聯系！它們可以互為工具，在今后的學習中，你們只要緊緊抓住三者之間的聯系，學習就有了主線了。
向量我們在中學學過一些，物理課也講。中學學的是三維向量，在幾何中用有向線段表示，代數上用三個數的有序數組表示。那么我們線性代數中的向量呢，是將中學所學的向量進行推廣，由三維到n維（n是任意正整數），由三個數的有序數組推廣到n維有序數組，中學的向量的性質盡可能推廣到n維，這樣，可以解決更多的問題；矩陣呢？就是一個方形的數表，有若干行、列構成，這樣看起來，概念上很好理解啊。可是研究起來可不那么簡單，我們以前的運算是兩個數的運算，而現在的運算涉及的可是整個數表的運算！可以想象，整個數表的運算必然比兩個數的運算難。但是我們不必怕，先記住并掌握運算，運算再難，多練幾遍必然就會了。關鍵是要理解概念與概念間的聯系。
再進一步說吧：中學解方程組，有一個原則，就是一個方程解一個未知量。對于線性代數的線性方程組，方程的個數不一定等于未知量的個數。比如4個方程5個未知量，這樣就不可能有唯一的解，需要將一個未知量提出來作為“自由未知量”，也就是將之當做參數（可以任意取值的常數）；還有，即使是方程個數與未知量個數相同，也未必有唯一的解，因為有可能出現方程“多余”的情況。（比如第三個方程是前兩個方程相加，那么第三個方程可以視為“多余”）總之，解方程可以先歸納出以下三大問題：
第一， 有無多余方程；
第二， 若有多余，如何去除多余方程，保留有用方程；
第三， 如何確定自由未知量。
解決了這三大問題，方程組的解迎刃而解。我們結合矩陣、向量可以提出完全對應的問題。剛才講了，三者聯系緊密，比如一個方程將運算符號和等號除去，就是一個向量；方程組將等號和運算除去，就是一個矩陣！你們說它們是不是聯系緊密？大家可不要小看這三問，我認為它們可以作為學習上學期高代的提綱挈領。
下學期主要講“線性空間”和“線性變換”。所謂線性空間，就是將上學期所學的數域上的向量空間加以推廣，很玄是吧？首先數域上的向量空間，是將向量作為整體來研究，這就是我們大學所學的第一個“代數結構”。所謂代數結構，就是由一個集合、若干種運算構成的數學的“大廈”，運算使得集合中的元素有了聯系。中學有沒有涉及代數結構啊？有的，比如實數域、復數域中的“域”就是含有四則運算的代數結構。而向量空間的集合是向量，運算就兩個：加法和數乘。起初向量及其運算和上學期學的一樣。可是，它的形式有局限啊，數學家就想到，將其概念的本質抽取出來，他們發現，向量空間的本質就是八條運算律，因此將它作為線性空間（也稱向量空間）的公理化定義，作為原始的向量、加法、數乘未必再有原來的形式了。比如上學期學的數域上的多項式構成的線性空間。
繼而，我們將數學中的“映射”用在線性空間上，于是有了“線性變換”的概念。說到底，線性變換就是線性空間保持線性運算關系不變的自身到自身的“映射”。正因為保持線性關系不變，所以線性空間的許多性質在映射后得以保持。研究線性空間與線性變換的關鍵就是找到線性空間的“基”，只要通過基，可以將無數個向量的運算通過基線性表示，也可以將線性變換通過基的變換線性表示！于是，線性空間的元素真正可以用上學期的“向量”表示了！線性變換可以用上學期的“矩陣”表示了！這是代數中著名的“同構”的思想！通過這樣，將抽象的問題具體化了，這也就是我們前邊說的“矩陣”和“向量”是兩大工具的原因。同學們要記住，做線性空間與線性變換的題時這樣的轉化是主方向！
進一步：既然線性變換可以通過取基用矩陣表示，不同的基呢，對應不同的矩陣。我們自然想到，能否適當的'取基，使得矩陣的表示盡可能簡單。簡單到極致，就是對角型。經研究，發現若能轉成對角型的話，那么對角型上的元素是這樣變換（稱相似變換）的不變量，這個不變量很重要，稱為變換的“特征值”。矩陣相似變換成對角型是個很實用的問題，結果，不是所有都能化對角，那么退一步，于是有了“若當標準型“的概念，只要特征多項式能夠完全分解，就可以化若當標準型，有一章的內容專門研究它。這樣的對角型與若當標準型有什么用呢？我們利用它是同一個變換在不同基下的矩陣表示，可以通過改變基使得研究線性變換變得簡單。
最后的“歐氏空間”許多人不理解，一句話，就是仿照我們可見的三維空間，對線性空間引進度量，向量有長度、有夾角、有內積。歐氏空間有了度量后，線性空間的許多性質變得很直觀且奇妙。我們要比較兩者的聯系與差別。此章主要講了兩種變換：對稱變換與正交變換，正交變換是保持度量關系不變，對稱變換在正交基下為對稱陣。相似變換對角化問題到了這里變成正交變換對角化問題，在涉及對角化問題時，能用正交變換的盡量用正交變換，可以使得問題更加的容易解決。
說到這里，大家對高代有了宏觀的認識了。最后總結出高代的特點，一是結構緊密，整個課程的知識點互相之間有著千絲萬縷的聯系，無論從哪一個角度切入，都可以牽一發而動全身，整個課程就是鐵板一塊。二是它解決問題的方法不再是像中學那樣的重視技巧，以“點”為主，而是從代數的“結構”上，從宏觀上把握解決問題的方案。這對大家是比較抽象，但是，沒有宏觀的理解，對此課程必然學不透徹！建議同學們邊比較變學習，上學期的向量用中學的向量比較，下學期的向量用上學期的比較。在計算上理解概念，證明時注重整體結構。關于證明，這里一時無法盡言，請看我的《證明題的證法之高代篇》，那里有詳細敘述。
【大學如何學好高等代數】相關文章：
如何學好線性代數09-20
大學如何學好高等數學03-23
理科生如何學好高等數學10-03
怎樣學好高等數學10-03
高等數學之線性代數的知識點10-03
如何學好初中數學09-01
大學學好高等數學六個重要環節10-03
大學學好高等數學的六個重要環節10-03
初中數學如何學好方法09-28
如何學好英語的英語作文10-11