高中數學必考知識點

高中數學必考知識點匯總

　　線性回歸方程

　　1．學習目標：

　　了解非確定性關系中兩個變量的統計方法；掌握散點圖的畫法及在統計中的作用，掌握

　　回歸直線方程的求解方法。

　　2．學法指導：

　　①求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標意義．否則，求出的回歸直線方程毫無意義．因此，對一組數據作線性回歸分析時，應先看其散點圖是否成線性．

　　②求回歸直線方程，關鍵在于正確地求出系數a、b，由于求a、b的計算量較大，計算時仔細謹慎、分層進行，避免因計算產生失誤．

　　③回歸直線方程在現實生活與生產中有廣泛的應用．應用回歸直線方程可以把非確定性問題轉化成確定性問題，把“無序”變為“有序”，并對情況進行估測、補充．因此，學過回歸直線方程以后，應增強學生應用回歸直線方程解決相關實際問題的意識．

　　【教師在線】

　　1．解析視屏：

　　1．相關關系的概念

　　在實際問題中，變量之間的常見關系有兩類：

　　一類是確定性函數關系，變量之間的關系可以用函數表示。例如正方形的面積S與其邊長 之間的函數關系 （確定關系）；

　　一類是相關關系，變量之間有一定的聯系，但不能完全用函數來表達。例如一塊農田的水稻產量與施肥量的關系（非確定關系）

　　相關關系：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。

　　相關關系與函數關系的異同點：

　　相同點：均是指兩個變量的關系。

　　不同點：函數關系是一種確定關系；而相關關系是一種非確定關系；函數關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系。

　　2．求回歸直線方程的思想方法

　　觀察散點圖的特征，發現各點大致分布在一條直線的附近，思考：類似圖中的直線可畫幾條？

　　引導學生分析，最能代表變量x與y之間關系的直線的特征：即n個偏差的平方和最小，其過程簡要分析如下：

　　設所求的直線方程為 ，其中a、b是待定系數。

　　則 ，于是得到各個偏差。

　　顯見，偏差 的符號有正負，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應直線在整體上的接近程度，故采用n個偏差的平方和

　　表示n個點與相應直線在整體上的接近程度。

　　記 。

　　上述式子展開后，是一個關于a，b的二次多項式，應用配方法，可求出使Q為最小值時的a，b的值，即

　　其中

　　以上方法稱為最小二乘法。

　　2．經典回放：

　　例1：下列各組變量哪個是函數關系，哪個是相關關系？

　　（1）電壓U與電流I

　　（2）圓面積S與半徑R

　　（3）自由落體運動中位移s與時間t

　　（4）糧食產量與施肥量

　　（5）人的身高與體重

　　（6）廣告費支出與商品銷售額

　　分析：函數關系是一種確定關系；而相關關系是一種非確定關系；函數關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系。

　　解：前三小題中一個變量的變化可以確定另一個變量的變化，兩者之間是函數關系。

　　對于糧食與施肥量，兩者確實有非常密切的關系，實踐證明，在一定的范圍內，施肥量越多，糧食產量就越高，但是，施肥量并不能完全確定糧食產量，因為糧食產量還與其他因素的影響有關，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在確定的函數關系。

　　人的身高與人的體重也密切相關，一般來說，一個人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相同，身高和體重這兩個變量之間并不是嚴格的函數關系。

　　廣告費支出與商品銷售額有密切的關系，但廣告費的支出不能完全決定商品的銷售額。由此可見，后三小題各對變量之間的關系是相關關系。

　　點評：不要認為兩個變量間除了函數關系，就是相關關系，事實是上，兩個變量間可能毫無關系。比如地球運行的速度與某個人的行走速度就可認為沒有關系。

　　例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下：

　　ｘ45424648423558403950

　　y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

　　ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數，百萬）

　　(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形。

　　解：（１）見下圖

　　（２）

　　設回歸直線為 ，

　　則 ，

　　所以所求回歸直線的方程為 ，圖形如下:

　　點評：對一組數據進行線性回歸分析時，應先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數a、b的計算公式，算出a、b．由于計算量較大，所以在計算時應借助技術手段，認真細致，謹防計算中產生錯誤．求線性回歸方程的步驟：計算平均數 ；計算 的積，求 ；計算 ；將結果代入公式求ａ；用 求ｂ；寫出回歸方程。

　　【同步訓練】

　　1 . 下列兩個變量之間的關系哪個不是函數關系（ ）

　　A．角度和它的余弦值B.正方形邊長和面積

　　C．正ｎ邊形的邊數和它的內角和D.人的年齡和身高

　　2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動生產率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，則下列說法中正確的是 （ ）

　　A．勞動生產率為1000元時，月工資為130元

　　B．勞動生產率提高1000元時，月工資提高約為130元

　　C．勞動生產率提高1000元時，月工資提高約為80元

　　D．月工資為210元時，勞動生產率為2000元

　　3．設有一個回歸方程為y=2-1.5x，則變量x每增加一個單位時，y平均 （ ）

　　A．增加1.5單位 B．增加2單位 C．減少1.5單位 D．減少2單位

　　4．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人們，體重y（kg）依身高x（cm）的回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同學不胖不瘦，身高1米78，他的體重應在 kg左右。

　　5.給出施化肥量對水稻產量影響的試驗數據：

　　施化肥量x15202530354045

　　水稻產量y330345365405445450455

　　(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形

　　【拓展嘗新】

　　6．在某種產品表面進行腐蝕線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間對應的一組數據：

　　時間t(s)5101520304050607090120

　　深度y(μm)610101316171923252946

　　(1)畫出散點圖；

　　(2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。

　　【解答】

　　1． D 2．C 3．C 4．69.66

　　5．解：(1)散點圖（略）．

　　(2)表中的數據進行具體計算，列成以下表格

　　i1234567

　　xi15202530354045

　　yi330345365405445450455

　　xiyi49506900912512150155751800020475

　　故可得到 。

　　6．解：(1)散點圖略，呈直線形.

　　(2)經計算可得：

　　類比推理

　　1.2 類比推理

　　過程

　　一．問題情境

　　從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發明了鋸子.

　　他的思路是這樣的：

　　茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.

　　這個推理過程是歸納推理嗎？

　　二．數學活動

　　我們再看幾個類似的推理實例。

　　例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。

　　等式的性質： 猜想不等式的性質：

　　(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;

　　(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;

　　(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。

　　問：這樣猜想出的結論是否一定正確？

　　例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比.

　　圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合.

　　球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.

　　圓 球

　　弦←→截面圓

　　直徑←→大圓

　　周長←→表面積

　　面積←→體積

　　圓的性質球的性質

　　圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓

　　與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大

　　圓的切線垂直于過切點的半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經過球心且垂直于切面的直線必經過切點

　　經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心經過切點且垂直于切面的直線必經過球心

　　☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．

　　簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

　　類比推理的一般步驟：

　　⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

　　⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；

　　⑶ 檢驗猜想。即

　　例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結論:

　　試通過類比,寫出在空間中的類似結論.

　　鞏固提高

　　1．(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為-----------------------------

　　2．類比平面內直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質的猜想．

　　直角三角形 3個面兩兩垂直的四面體

　　∠C＝90°

　　3個邊的長度a，b，c

　　2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

　　4個面的面積S1，S2，S3和S

　　3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S

　　3．（2004，北京）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

　　已知數列 是等和數列，且 ，公和為5，那么 的值為______________，這個數列的前n項和 的計算公式為________________

　　1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。

　　2．類比推理的一般步驟：

　　①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

　　2.2二項分布及其應用教案三（新人教A版選修2-3）

　　2．2．2事的相互獨立性

　　目標：

　　知識與技能：理解兩個事相互獨立的概念。

　　過程與方法：能進行一些與事 獨立有關的概率的計算。

　　情感、態度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。

　　重點：獨立事 同時發生的概率

　　教學難點：有關獨立事發生的概率計算

　　授類型：新授

　　時安排：2時

　　教 具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1 事的定義：隨機事：在一定條下可能發生也可能不發生的事；

　　必然事：在一定條下必然發生的事；

　　不可能事：在 一定條下不可能發生的事

　　2．隨機事的概率：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事 發生的頻率 總是接近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事 的概率，記作 ．

　　3.概率的確定方法：通過進行大量的重復試驗，用這個事發生的頻率近似地作為它的概率；

　　4．概率的性質：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機事的兩個極端情形

　　5 基本事：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果（事 ）稱為一個基本事

　　6．等可能性事：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每個基本事的概率都是 ，這種 事叫等可能性事

　　7．等可能性事的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果都是等可能的，如果事 包含 個結果，那么事 的概率

　　8．等可能性事的概率公式及一般求解方法

　　9.事的和的意義:對于事A和事B是可以進行加法運算的

　　10 互斥事:不可能同時發生的兩個事．

　　一般地：如果事 中的任何兩個都是互斥的，那么就說事 彼此互斥

　　11．對立事:必然有一個發生的互斥事．

　　12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么

　　探究:

　　(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？

　　事 ：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事 ：乙擲一枚硬幣，正面朝上

　　(2)甲壇子里有3個白球，2個黑球，乙壇子里有2個白球，2個黑球，從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率是多少？

　　事 ：從甲壇子里摸出1個球，得到白球；事 ：從乙壇子里摸出1個球，得到白球

　　問題(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同時發生嗎？（可以）

　　問題(1)、(2)中事 （或 ）是否發生對事 （或 ）發生的概率有無影響？（無影響）

　　思考:三張獎券中只有一張能中獎,現分別由三名同學有放回地抽取,事A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”, 事B為“最后一名同學抽到中獎獎券”. 事A的發生會影響事B 發生的概率嗎?

　　顯然，有放回地抽取獎券時，最后一名同學也是從原的三張獎券中任抽一張，因此第一名同學抽的結果對最后一名同學的抽獎結果沒有影響，即事A的發生不會影響事B 發生的概率．于是

　　P（B A）=P(B）,

　　P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).

　　二、講解新：

　　1．相互獨立事的定義：

　　設A, B為兩個事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事A與事B相互獨立（mutually independent ) .

　　事 （或 ）是否發生對事 （或 ）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事叫做相互獨立事

　　若 與 是相互獨立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨立

　　2．相互獨立事同時發生的概率：

　　問題2中，“從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球”是一個事，它的發生，就是事 ， 同時發生，記作 ．（簡稱積事）

　　從甲壇子里摸出1個球，有5種等可能的結果；從乙壇子里摸出1個球，有4種等可能的結果 于是從這兩個壇子里分別摸出1個球，共有 種等可能的結果 同時 摸出白球的結果有 種 所以從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率 ．

　　另一方面，從甲壇子里摸出1個球，得到白球的概率 ，從乙壇子里摸出1個球，得到白球的概率 ．顯然 ．

　　這就是說，兩個相互獨立事同時發生的概率，等于每個事發生的概率的積 一般地，如果事 相互獨立，那么這 個事同時發生的概率，等于每個事發生的概率的積，

　　即 ．

　　3．對于事A與B及它們的和事與積事有下面的關系：

　　三、講解范例：

　　例 1.某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎中以下事的概率：

　　(1)都抽到某一指定號碼；

　　(2)恰有一次抽到某一指定號碼；

　　(3)至少有一次抽到某一指定號碼．

　　解： (1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事A, “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事B ，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事AB．由于兩次抽獎結果互不影響，因此A與B相互獨立．于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率

　　P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.

　　(2 ) “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 與 B互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為

　　P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )

　　= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

　　( 3 ) “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 兩兩互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.

　　例2.甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊 次，甲射中的概率為 ，乙射中的概 率為 ，求：

　　（1） 人都射中目標的概率；

　　（2） 人中恰有 人射中目標的概率；

　　（3） 人至少有 人射中目標的概率；

　　（4） 人至多有 人射中目標的概率？

　　解：記“甲射擊 次，擊中目標”為事 ，“乙射擊 次，擊中目標”為事 ，則 與 ， 與 ， 與 ， 與 為相互獨立事，

　　（1） 人都射中的概率為：

　　∴ 人都射中目標的概率是 ．

　　（2）“ 人各射擊 次，恰有 人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事 發生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事 發生） 根據題意，事 與 互斥，根據互斥事的概率加法公式和相互獨立事的概率乘法公式，所求的概率為：

　　∴ 人中恰有 人射中目標的概率是 ．

　　（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為 ．

　　（法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事，

　　2個都未擊中目標的概率是 ，

　　∴“兩人至少有1人擊中目標”的概率為 ．

　　（4）（法1）：“至多有1人擊中目標”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，

　　故所求概率為：

　　（法2）：“至多有1人擊中目標”的對立事是“2人都擊中目標”，

　　故所求概率為

　　例 3.在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作 假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

　　解：分別記這段時間內開關 ， ， 能夠閉合為事 ， ， ．

　　由題意，這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響 根據相互獨立事的概率乘法公式，這段時間內3個開關都不能閉合的概率是

　　∴這段時間內至少有1個開關能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是

　　答：在這段時間內線路正常工作的概率是 ．

　　變式題1：如圖添加第四個開關 與其它三個開關串聯，在某段時間內此開關能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

　　變式題2：如圖兩個開關串聯再與第三個開關并聯，在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

　　方法一：

　　方法二：分析要使這段時間內線路正常工作只要排除 開且 與 至少有1個開的情況

　　例 4.已知某種高炮在它控制的區域內擊中敵機的概率為0.2．

　　（1）假定有5門這種高炮控制某個區域，求敵機進入這個區域后未被擊中的概率；

　　（2）要使敵機一旦進入這個區域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

　　分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率

　　解:（1）設敵機被第k門高炮擊中的事為 (k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機的事為 ．

　　∵事 ， ， ， ， 相互獨立，

　　∴敵機未被擊中的概率為

　　∴敵機未被擊中的概率為 ．

　　（2）至少需要布置 門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：

　　敵機被擊中的概率為1-

　　∴令 ，∴

　　兩邊取常用對數，得

　　∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機

　　點評：上面例1和例2的解法，都是解應用題的逆向思考方法 采用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便

　　四、堂練習：

　　1．在一段時間內，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內至少有1人去此地的概率是( )

　　2．從甲口袋內摸出1個白球的概率是 ，從乙口袋內摸出1個白球的概率 是 ，從兩個口袋內各摸出1個球，那么 等于（ ）

　　2個球都是白球的概率 2個球都不是白球的概率

　　2個球不都是白球的概率 2個球中恰好有1個是白球的概率

　　3．電燈泡使用時間在1000小時以上概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是（ ）

　　0.128 0.096 0.104 0.384

　　4．某道路的 、 、 三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45 秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是 （ ）

　　5．（1）將一個硬幣連擲5次，5次都出現正面的概率是 ；

　　（2）甲、乙兩個氣象臺同時作天氣預報，如果它們預報準確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預報中兩個氣象臺都預報準確的概率是 ．

　　6．棉籽的發芽率為0.9，發育為壯苗的概率為0.6，

　　（1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無壯苗的概率為 ．

　　（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ．

　　7．一個工人負責看管4臺機床，如果在1小時內這些機床不需要人去照顧的概率第1臺是0.79，第2臺是0 .79，第3臺是0.80，第4臺是0.81，且各臺機床是否需要照顧相互之間沒有影響，計算在這個小時內這4臺機床都不需要人去照顧的概率.

　　8．制造一種零，甲機床的廢品率是0.04，乙機床的廢品率是0.05．從它們制造的產品中各任抽1，其中恰有 1廢品的概率是多少？

　　9 ．甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？

　　答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)

　　6.(1) , (2) ,

　　7. P=

　　8. P=

　　9. 提示：

　　五、小結 ：兩個事相互獨立，是指它們其中一個事的發生與否對另一個事發生的概率沒有影響 一般地，兩個事不可能即互斥又相互獨立，因為互斥事是不可能同時發生的，而相互獨立事是以它們能夠同時發生為前提的 相互獨立事同時發生的概率等于每個事發生的概率的積,這一點與互斥事的概率和也是不同的

　　六、后作業：本58頁練習1、2、3 第60頁 習題 2. 2A組4. B組1

　　七、板書設計（略）

　　八、教學反思：

　　1. 理解兩個事相互獨立的概念。

　　2. 能進行一些與事獨立有關的概率的計算。

　　3. 通過對實例的分析，會進行簡單的應用。

　　數列教案

　　2.1 數列的概念

　　一、知識要點

　　1、數列的定義：按照一定 排列的一列數叫數列.數列中的 都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項（或首 項），第2項, …,第n項, …數列的一般形式可以寫成： ，其中 是數列的 ，叫做數列的 ，我們通常把一般形式的數列簡記作 。

　　2、數列的表示:

　　(1)列舉法:將每一項一一列舉出表示數列的方法.

　　(2)圖像法:由(n,an)點構成的一些孤立的點;

　　(3)解析法:用通項公式an=f(n)（ ）表示.

　　通項公式：如果數列{ }中的第n項 與n之間的關系可以用一個公式表示，則稱此公式為數列的 .

　　數列通項公式的作用：

　　①求數列中任意一項；

　　②檢驗某數是否是該數列中的一項.

　　思考與討論:

　　①數列與數集有什么區別？

　　與集合中元素的性質相比較，數列中的項也有三個性質；

　　確定性：一個數在不在數列中，即一個數是不是數列中的項是確定的。

　　可重復性：數列中的數可以重復。

　　有序性：一個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列次序也有關。

　　②是否所有的數列都有通項公式？

　　③{ }與 有什么區別？

　　⑷遞推公式法:用前n項的值與它相鄰的項之間的關系表示各項. 遞推公式也是求數列的一種重要的方法，但并不是所有的數列都有遞推公式。

　　3、數列與函數

　　從函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為 （或它的 ）的函數 ，當自變量按照從小到大的'順序依次取值時，所對應的一列函數值.數列的 是相應的函數的解析式，它的圖像是 。

　　4、數列分類：

　　按項數分類： ， .

　　按項與項間的大小關系分類： ，

　　5、任意數列{an}的前n項和的性質

　　= a1+ a2+ a3+ ……+ an

　　6、求數列中最大最小項的方法：

　　最大 最小 ，考慮數列的單調性.

　　二、典例分析

　　題型1: 用觀察法求數列的通項公式

　　例1、根據下面各數列前幾項，寫出一個通項.

　　⑴-1,7,-13,19,…；

　　⑵7,77,777,777,…；

　　根據數列前幾項的規律，寫出數列的一個通項公式，主要從以下幾個方面考慮：

　　⑴通常先將每項分解成幾部分（如符號、絕對值、分子、分母、底數、指數等），然后觀察各部分與項數n的關系寫通項.

　　⑵正負相間的問題，符號用（－1）n或（－1）n+1調節，這是因為n和n+1奇偶交錯.

　　⑶分式形式的數列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關系.

　　⑷較復雜的數列的通項公式，可借助一些熟知數列，如數列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10—n }等.

　　⑸有些數列的通項公式可用分段函數形式表示.

　　題型2: 運用an與Sn的關系求通項

　　例2、已知數列 的前n項的和 .

　　⑴寫出數列的通項公式；

　　⑵判斷 的單調性.

　　題型3:運用函數思想解決數列問題

　　例3、已知數列 中， 它的最小項是（ ）

　　A.第一項B.第二項C.第三項D. 第二項或第三項

　　題型4: 遞推數列

　　例4、⑴若數列 中， ，且各項滿足 ，寫出該數列的前5項．

　　⑵已知數列{an}中， ，且各項滿足 ，寫出該數列的前5項.

　　三、時作業

　　1.數列 …的一個通項公式是 （ ）

　　2.已知數列 滿足 ,則數列 是( )

　　A. 遞增數列B. 遞減數列C. 擺動數列D. 常數列

　　3.已知數列 的首項 且 ,則 等于( )

　　A. B. C. D.

　　4.已知數列 中, ,

　　則 等于( )

　　A. B. C. D.

　　5.已知數列 對任意的 滿足 ，且 ，那么 等于（ ）

　　A． B． C． D．

　　6.已知數列{ }的前 項和 ，第 項滿足 ，則 （ ）

　　A． B． C. D．

　　7.數列 ，…，則按此規律， 是這個數列的第 項.

　　8.已知數列 的通項公式 ，則 = ， 65是它的第 項.

　　9.在數列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x應為_______.

　　10.寫出下列數列的通項公式：

　　⑥1,0,1,0,1,0,…；

　　11.已知數列

　　（1）求這個數列的第10項；

　　（2） 是不是該數列中的項，為什么？

　　（3）求證：數列中的各項都在區間（0，1）內；

　　（4）在區間 內有無數列中的項？若有，有幾項？若無，說明理由.

　　12.已知數列 的通項公式為 .

　　(1)試問 是否是數列 中的項?

　　(2)求數列 的最大項.

　　向量的減法運算及其幾何意義

　　2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義

　　目標：

　　1、 了解相反向量的概念；

　　2、掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；

　　3、通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.

　　重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.

　　教學難點：減法運算時方向的確定.

　　學 法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.

　　教 具：多媒體或實物投影儀，尺規

　　授課類型：新授課

　　教學思路：

　　一、復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則

　　向量加法的運算定律：

　　例：在四邊形中，CB+BA+BC= .

　　解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .

　　二、提出課題：向量的減法

　　1．用“相反向量”定義向量的減法

　　（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a

　　（2） 規定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.

　　任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0

　　如果a、b互為相反向量，則a = -b， b =-a， a + b = 0

　　（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.

　　即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

　　2．用加法的逆運算定義向量的減法：

　　向量的減法是向量加法的逆運算：

　　若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b

　　3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量

　　∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

　　作法：在平面內取一點O，

　　作 = a， = b

　　則 = a - b

　　即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.

　　注意：1? 表示a - b.強調：差向量“箭頭”指向被減數

　　2?用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)

　　顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統一.

　　4．探究：

　　１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a.

　　２）若a∥b， 如何作出a - b ？

　　三、例題：

　　例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.

　　解：在平面上取一點O，作 = a， = b， = c， = d，

　　作 ， ， 則 = a-b， = c-d

　　例2、平行四邊形 中， a， b，

　　用a、b表示向量 、 .

　　解：由平行四邊形法則得：

　　= a + b， = = a-b

　　變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？（a = b）

　　變式二：當a， b滿足什么條件時，a+b = a-b？（a， b互相垂直）

　　變式三：a+b與a-b可能是相當向量嗎？（不可能，∵ 對角線方向不同）

　　練習：Ｐ98

　　四、小結：向量減法的定義、作圖法

　　五、作業：P103第4、５題

　　六、板書設計（略）

　　2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義

　　課前預習學案

　　預習目標：

　　復習回顧向量的加法法則及其運算律，為本節新授內容做好鋪墊。

　　預習內容：

　　向量加法的法則： 。

　　向量加法的運算定律： 。

　　例：在四邊形中，CB+BA+BC= .

　　解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .

　　提出疑惑：向量有加法運算，那么它有減法嗎？

　　課內探究學案

　　學習目標：

　　1、 了解相反向量的概念；

　　2、掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；

　　3、通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.

　　學習過程：

　　一、提出課題：向量的減法

　　1．用“相反向量”定義向量的減法

　　（1）“相反向量”的定義： 。

　　（2） 規定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.

　　任一向量與它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0

　　如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0

　　（3） 向量減法的定義： .

　　即： 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

　　2．用加法的逆運算定義向量的減法：

　　向量的減法是向量加法的逆運算：

　　若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作 。

　　求作差向量：已知向量a、b，求作向量

　　∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

　　作法：

　　注意：1? 表示a -b.強調：差向量“箭頭”指向

　　2?用“相反向量”定義法作差向量，a -b = 。 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統一.

　　3．探究：

　　１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是 。

　　２）若a∥b， 如何作出a - b ？

　　二、例題：

　　例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.

　　例2、平行四邊形 中， a， b，

　　用a、b表示向量 、 .

　　變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a?b垂直？（a = b）

　　變式二：當a， b滿足什么條件時，a+b = a?b？（a， b互相垂直）

　　變式三：a+b與a?b可能是相當向量嗎？（不可能，∵ 對角線方向不同）

　　練習：Ｐ98

　　三、小結：向量減法的定義、作圖法

　　四、作業：P103第4、５題

　　課后練習與提高

　　1.在△ABC中， =a， =b，則 等于( )?

　　A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?

　　2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設 =a， =b， =c， =d，則A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

　　３.如圖，在四邊形ABCD中，根據圖示填空：?

　　a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?

　　４、如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b= ，c-d= ，并畫出b-c和a+d.

　　參考答案：

　　高二數學“楊輝三角”與二項式系數的性質導學案

　　第13時

　　1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數的性質(一)

　　學習目標

　　掌握二項式系數的性質.培養觀察發現，抽象概括及分析解決問題的能力.

　　學習過程

　　一、學前準備

　　復習：（本P37B2）求證：

　　二、新導學

　　探究新知（預習教材P29～P31，找出疑惑之處）

　　問題1：計算 展開式的二項式系數并填入下表：

　　展開式的二項式系數

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　應用示例

　　例1．（本P34例3）試證：在 的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.

　　反饋練習

　　1. （本P35練1）填空：

　　（1） 的各二項式系數的最大值是 ；

　　（2） ;

　　(3) .

　　2. （本P35練2）證明 （ 是偶數）.

　　三、當堂檢測

　　1. （本P40A(7)） 的展開式中，系數最大的項是第 項.

　　2.已知 為正偶數，且 的展開式中第4項的二項式系數最大，則第4項的系數是 .

　　3.在 的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式的常數項為（ ）.

　　A.-7 B.7 C.-28 D.28

　　2.（本P35練3）寫出 從1到10的二項式系數表.

　　后作業

　　1．（本P37A7）利用楊輝三角，畫出函數

　　的圖象.

　　2. （本P37A8）已知 的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，求這兩項的二項式系數.

　　3.已知在 的展開式中，第6項為常數項.（1）求 ；（2）求含 的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項.

　　古典概型

　　基礎訓練

　　1．將1枚硬幣拋2次，恰好出現1次正面的概率是

　　2．任意說出星期一到星期日中的兩天（不重復），其中恰有一天是星期六的概率是

　　3．某銀行儲蓄卡上的密碼是一種4位數字號碼，每位上的數字可在0，1，2，…，9這10個數字中選取，某人未記住密碼的最后一位數字，若按下密碼的最后一位數字，則正好按對密碼的概率是

　　4．連續3次拋擲一枚硬幣，則正、反面交替出現 的概率是

　　5．在坐標平面內，點 在x軸上方的概 率是

　　典型例題

　　例1 擲一顆骰子，觀察擲出的點數，求擲得奇數點的概率。

　　分析：擲骰子有6個基本事件，具有有限性和等可能性， 因此是古典概型。

　　解：這個試驗的基本事件共有6個，即（出現1點）、（出現2點）……、（出現6點）

　　所以基本事件數n=6，

　　事件A=（擲得奇數點）=（出現1點，出現3點，出現5點），

　　其包含的基本事件數m=3

　　所以，P（A）= = = =0.5

　　小結：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：

　　（1）所有的基本事件必須是互斥的；

　　（2）m為事件A所包含的基本事件數，求m值時，要做到不重不漏。

　　例2 從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率。

　　解：每次取出一個，取后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則

　　A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]

　　事件A由4個基本事件組成，因而，P（A）= =

　　例3 現有一批產品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

　　（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續3次取出的都是正品的概率；

　　（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．

　　分析：（1）為返 回抽樣；（2）為不返回抽樣．

　　解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結果有10×10×10=103種；設事件A為“連續3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，因此，P(A)= =0.512．

　　（2）解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為10×9×8=720種．設事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．

　　解法2：可以看作不 放回3次無順序抽樣，先按抽取順序（x,y,z）記錄結果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以試驗的所有結果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數為8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．

　　小結：關于不放回抽樣，計算基本事件個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結 果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤．

　　課堂精煉

　　1.從一副撲克牌(54張)中抽一張牌，抽到牌“K”的概率是 。

　　答案：

　　2.將一枚硬幣拋兩次,恰好出現一次正面的概率是 。

　　答案：

　　3.從標有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9張紙片中任取2張,那么這2 張紙片數字之積為偶數的概率為 。

　　答案： 4.同時擲兩枚骰子,所得點數之和為5的概率為 ；

　　點數之和大于9的概率為 。

　　答案： ；

　　5.一個口袋里裝有2個白球和2個黑球,這4 個球除顏色外完全相同,從中摸出2個球,則1個是白球,1個是黑球的概率是 。

　　答案：

　　6.先后拋3枚均勻的硬幣,至少出現一次正面的概率為 。

　　答案：

　　7．一個正方體，它的表面涂滿了紅色，在它的每個面上切兩刀，可得27個小正方體，從中任取一個它恰有一個面涂有紅色的概率是 。

　　答案：

　　8.從1,2,3,4,5這5個數中任取兩個,則這兩個數正好相差1的概率是________。

　　答案：

　　9．口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，四個人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個人摸到白球”的概率。

　　答案：把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也 編上序號1、2，于是四個人按順序依 次從袋內摸出一個球的所有可能結果，可用樹形圖直觀地表示出來如 下：

　　從上面的樹形圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24，第二人摸到白球的結果有12種，記“第二個人摸到白球”為事件A，則 。

　　10．袋中有紅、白色球各一個，每次任取一個，有放回地抽三次，寫出所有的基本事件，并計算下列事件的概率：（1）三次顏色恰有兩次同色； （2）三次顏色全相同；

　　（3）三次抽取 的球中紅色球出現的次數多于白色球出現的次數。

　　答案：（紅紅紅）（紅紅白）（紅白紅）（白紅紅）（紅白白）（白紅白）（白白紅）（白白白）

　　（1） （2） （3）

　　11．已知集合 ， ；

　　（1）求 為一次函數的概率； （2）求 為二次函數的概率。

　　答案：（1） （2）

　　12．連續擲兩次骰子，以先后得到的點數 為點 的坐標，設圓 的方程為 ；

　　（1）求點 在圓 上的概率； （2）求 點 在圓 外的概率。

　　答案：（1） （2）

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